リーマン形式

数学において、アーベル多様体やモジュラー形式の理論におけるリーマン形式 (リーマンけいしき、Riemann form) とは、以下のデータからなる。

• 複素ベクトル空間 C^g の格子 ${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \Lambda }$ から整数への交代的双線型形式 ${\displaystyle \alpha }$ であって、次のリーマンの双線型関係式(Riemann bilinear relations)を満たすもの。

1. ${\displaystyle \alpha }$ の実線型拡大 ${\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R} }$ は、${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}}$ のすべての ${\displaystyle (v,w)}$ に対して、${\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }(iv,iw)=\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}$ を満たす。
2. 付随するエルミート形式 ${\displaystyle H(v,w)=\alpha _{\mathbb {R} }(iv,w) i\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}$ は正定値である。

（ここに記述したエルミート形式は、第一変数について線型である。）

リーマン形式は、次の理由により重要である。

• 任意の保型因子のチャーン類の交代化(alternatization)はリーマン形式である。
• 逆に、任意のリーマン形式が与えられると、保型因子であって、そのチャーン類の交代化が与えられたリーマン形式であるようなものを構成できる。

参考文献

• Milne, James (1998), Abelian Varieties, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html 2008年1月15日閲覧。 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry, An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, New York, ISBN 0-387-98981-1, MR1745599 
• Mumford, David (1970), Abelian Varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5, London: Oxford University Press, MR0282985 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Abelian function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Abelian_function 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Theta-function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Theta-function